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1.
助成・補助金
Kyushu Univ. Production 九州大学成果文献
Cover image of 代数的組合せ論の総合的研究 — A collective study of algebraic combinatorics
坂内 英一 ; BANNAI Eiichi
研究期間: 1997-2000
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概要: この科研費は旧総合Aのように,研究集会の講演者旅費を援助することなどを通じて,日本の代数的組合せ論の発展に広く寄与するのが主目的であった.毎年開かれた代数的組合せ論シンポジウム(第14回,東京三鷹;第15回,金沢;第16回,福岡;第17回,筑波)および毎年京大数理研で開かれた代数的組合せ論あるいはそれと関連した分野の研究集会が主なものであり,それ以外にも毎年いくつかの小規模の研究会も持った. 日本の代数的組合せ論は現在活発に研究が持続されており,アソシエーションスキームおよび距離正則グラフの分類問題,球面デザイン,スピンモデル,Terwilliger代数との関連において研究が進展している.研究代表者の周辺では,有限体の上の通常のコード理論を有限環あるいは有限アーベル群上のコード理論に拡張する方向の仕事が現在の研究の1つの中心テーマである.また,そのモジュラー形式への応用も含めてSL(2,Z)の有限部分群でそれに対するモジュラー形式全体の作る環が多項式環と同型になるものの研究,特に必ずしも整数ウエイトでない場合のモジュラー形式についても研究がはじまり,Γ(5)のウエイト1/5のモジュラー形式について興味ある結果が得られた.(坂内-小池-宗政-関口の共同研究としてさらに研究が続行中.)最近の研究方向としてはアソシエーションスキームの指標表の研究それ自身と,それをモジュラー形式の有限版の研究という立場からみようという研究も開始している.また,有限群のmodular dataとmodular invariantsの研究も開始している. 続きを見る
2.
助成・補助金
Kyushu Univ. Production 九州大学成果文献
Cover image of アソシェーションスキームの研究 — Study of association schemes
坂内 英一 ; BANNAI Eiichi
研究期間: 1992-1993
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概要: 研究の重点はアソシェーションスキーム自身の研究とともに、スピンモデルとの関連に移っていった。 スピンモデルの概念はV.F.R.JonesのPac.J.Math.(1989)に発表された論文により導入された。各スピンモデルに対して、リンクの不変量が定義される。(1)Jonesによるスピンモデルの概念を一般化することによりリンクの不変量を与える新しいスピンモデルの概念を導入しそのような例を構成すること。(2)アソシェーションスキームなどの代数的組合せ論的対象との関連(それはF.Jaegerにより始められたが)についての研究を深化させ、組合せ論的対象の分類問題と関連させた形でスピンモデルの構成・分類問題に取り組むこと、の2つが研究代表者のこの一年間の主要な研究内容であった。具体的には、坂内悦子との共同研究として、generalized generalized spin models(four-weight spin models)の概念の導入といくつかの具体例の構成(それは川越・宗政・綿谷のgeneralized spin modelsの概念を更に一般化した)、有限巡回群上のmodular不変性の分類の完成とそれを用いての多くのgeneralized spin modelsの構成が(1)の方向での主結果である。(2)の方向では、坂内悦子-F.Jaegerとの共同研究として得られた、generalized spin modelsがアソシエーションスキームとBose-Mesner algebraを生成するという条件のもとでmodular不変性が成り立つことの証明と有限アーベル群上のmodular不変性の完全な分類、また有限アーベル群上ではその解からスピンモデルが常に構成出来ることの証明が重要な成果である。ここで構成された例は、Kac-Wakimotoによるアーベル群上のevenなQ-bilinear formに付随したスピンモデルの構成を特別な場合として含む。なお、F.Jaeger-A.Saliとの共同研究で、sizeの小さいスピンモデルの分類を行った。 続きを見る
3.
助成・補助金
Kyushu Univ. Production 九州大学成果文献
Cover image of 差集合とassociation schemeの関連性の研究
山田 美枝子
研究期間: 1992
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概要: 差集合およびHadamard行列とassociation schemeの間の関係は、これまでは一般論として論じられていたが、研究代表者はZ/4Zの拡大環上で、amorphous association schemeが存在し、それとHadamard差集合との関係を明らかにして、これらの間の具体的な関係を示した。最近になってHadamard行列、association schemeがspin modelを通して、linkの不変量に関係することが明らかになった。最初にspin modelからlinkの不変量が求まることを示したのはJonesである。このspin modelの概念は宗政-綿谷(北大)により非対称な場合に拡張されたが、坂内はこの概念をさらに拡張した。すなわち、4つの正方行列でいくつかの条件をみたすものを拡張したspin modelと呼び、新しいlinkの不変量が得られる可能性を示した。4つの行列のうち2つが等しいとき、宗政-綿谷によるspin modelにさらに対称であるとき Jonesによるものに一致する。拡張したspin modelの中でHadamard行列に関係するものを特にHadamard型と名づけた。この場合のspin modelを与えるHadamard行列は正則である。1985年にA.A.Ivanor-I.V.Chuvaeraにより4n次Hadamard行列から、クラス4のamorphous association schemeが得られることが証明された。さらにこのassociation schemeから16n^2次正則Hadamard行列、Hadamard差集合が得られる。これを使って、もとのHadamard行列がHadamard行列のある同値類に含まれていれば amorphous association schemeを通して得られるHadamard行列はspin modelとなることが証明できた。以上のように本研究で、Hadamard差集合とassociation schemeの関係をspin modelを構成するという立場から考えるという新しい視点を得た。この研究を今後も進展させたい。 続きを見る
4.
助成・補助金
Kyushu Univ. Production 九州大学成果文献
Cover image of アソシエーションスキームと関連分野の研究 — Research on association schemes and related topics
坂内 英一 ; BANNAI Eiichi
研究期間: 1995-1996
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概要: 主に次の3方向の研究をおこなった。 1。スピンモデルの研究。(1)4-weightスピンモデルの概念の導入とそれからリンクの不変量が得られることを証明した(坂内悦子との共同研究)。(2)有限アーベル群の群アソシエーションスキームの指標表の上の双対性およびモジュラー不変性の完全な分類とそれからスピンモデルが構成できることの証明(F.Jaegerおよび坂内悦子との共同研究)。 2。コードの重さ枚挙多項式あるいはある種の有限群の多項式不変式環を用いての種々の保型形式の構成問題。(1)位数192の(Shephard-Toddの分類表でNo.9と呼ばれる)2次元有限複素鏡映群の同時対角作用に対する多項式不変式環からヤコビ形式が構成できることの証明(小関道夫との共同研究)。(2)weightが4のヤコビ形式の具体的な構成(小関道夫および皆島真理との共同研究)。(3)その後、(1)に述べた多項式不変式環の具体的な基底の決定に成功し、論文を準備中である(坂内悦子、小関道夫および寺西鎮男との共同研究)。(4)現在、有限環Z/2kZなどの上のコードの研究も進展させており、有限アーベル群上の加法コードに対してTypellコードの概念の定義を与えた(S.Dougherty、原田昌晃、大浦学との共同研究)。 3。正多面体および準正多面体の分類などの初等幾何学的アイデアを用いてm_-1=3である原始的対称アソシエーションスキームの分類の完成。なお、現在この方向で、m_-1=4である原始的対称Q-polynomialアソエーションスキームの分類にA.Saliと共同で取り組んでいる所である。 続きを見る
5.
助成・補助金
Kyushu Univ. Production 九州大学成果文献
Cover image of 跡公式を用いた表現論・不変式論と特殊関数
山田 美枝子
研究期間: 1995
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概要: 山田は特別なamorphous association schemeから作られる正則Hadamard行列、複素Hadamard行列がfour-weight spin modelとなるための必要条件を示した。さらに、この必要条件を満たすfour-weight spin modelの無限系列を構成した。山田-白谷は、χを有限体GF(q)の乗法的指標、ηを2次指標とし、Jacobi和J(χ,η)が有理整数であるためのqとχに関する必要十分条件を示し、q=p^2の場合に完全に決定した。Jacobi和をp進体へ埋め込み、Gauss和のDavenport-Hasse関係式を適用して得られる。また、白谷はGauss和の打切り合同式が、初等的な計算のみで得られることも示した。これは、Stickelbergerの定理の一つの精密化でもある。末吉は2次体Q(√<m>)とQ(√<-m>)の狭義イデアル類群の4-rankr^+_4(m), r^-_4(m)の間に成り立つ不等式、r^+_4(m)【less than or equal】r^-_4(m)【less than or equal】r^+_4(m)+1の別証明を与えた。この証明にはHalter-Kochの手法を改良し、4-rankについての2つのcriteriaをHilbert記号を用いて表わすことにより、r^+_4(m)とr^+_4(-m)の関係を与える自然な準同型写像を定義し証明した。さらに等号成立の条件を精密に与えた。2^n-rankの場合への一般化を試みている。吉田はKloosterman zeta関数Z_<m,n>(s)をspectral dataで表わすformulaのKuznetsov,本橋とは異なる証明を与えた。Kuznetsovはtrace formulaを用いて上記formulaを導き、本橋は先にformulaを導き、その後Kuznetsov trace formulaを導く証明を与えた。一方、吉田はnon-holomorphic Poincare級数に対するinner product formulaを使って導いた。 以上、研究は遅々としではあるが、目標に向かって進んでいる。 続きを見る