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1.
助成・補助金
Kyushu Univ. Production 九州大学成果文献
Cover image of 微分方程式と部分多様体論 — Differential equations and theory of submanifolds
宮岡 礼子 ; MIYAOKA Reiko
研究期間: 2002-2003
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概要: 数年来取り組んでいた,重複度2の主曲率を6つもつ等径超曲面の等質性を証明した. あわせて重複度1の場合のDorfmeister-Neherの定理の別証を統一的に得た. 結果として得られる等質超曲面を考察することにより次のことも判明した. 重複度1の場合に得ていた結果と同様,重複度2の場合にも主曲率が6つの超曲面は主曲率が3つの超曲面上の全測地的球面をファイバーとするファイバー空間になっていることが分かった.ただしファイバー球面の次元は前者の2倍の6次元となる.これは以前に石川-木村と共に行ったガウス写像が退化する部分多様体の研究結果の拡張になっている.また,等径超曲面が外の球面を埋め尽くすことを用いると,13次元球面と7次元球面の間のある関係を導く.さらにこの超曲面が例外群G_2軌道として現れることを用いると,ホロノミー群がG_2の完備計量をもつ開多様体の例としてS^7-CP^2が得られることがわかる.これより,Calabi予想の実,開多様体版ともいえる,リッチ正のコンパクトリーマン多様体からどのような部分を除けば,ホロノミー群がG_2の完備計量が入るかという問題に発展する.このようにG_2軌道として得られるこの超曲面の挙動は非常に重要で興味深い. 続きを見る
2.
助成・補助金
Kyushu Univ. Production 九州大学成果文献
Cover image of 定平均曲率部分多様体の構成と応用 — Construction of submanifold with constant mean curvature, and its applications
山田 光太郎 ; YAMADA Kotaro
研究期間: 1998-2000
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概要: 本研究では,ユークリッド空間の極小曲面に関するワイエルストラス型表現公式とその一般化を考察した。まず,3次元ユークリッド空間の極小曲面,という古典的なカテゴリで,フラックスの逆問題に肯定的な解答を与えた。ここであらわれる(複素解析的な量としての)フラックスの一般化として,3次元双曲型空間の定平均曲率1をもつ曲面に対してフラックスとよぶべきホモロジー不変量を定義し,そのバランス公式を用いてある種の曲面の非存在を証明した。 3次元双曲型空間の定平均曲率1の曲面にたいして,全曲率に関する不等式(オッサーマン型不等式)を用い,全曲率が小さい曲面の分類を試みた。とくに,全曲率が4πより小さい曲面については完全な分類が得られた。この分類の副産物として,特殊な場合には従来知られていた不等式よりもつよい不等式が成立することを示すことができた。 また,一般に4次元以上のユークリッド空間の極小曲面に関する良く知られたワイエルストラスの表現公式の一般化として,ある種の非コンパクト型対称空間の正則ガウス写像をもつ曲面という概念を導入し,そのようなクラスの曲面に対して,ユークリッド空間の極小曲面との間の,一般化されたローソン対応が成り立ち,ワイエルストラス型表現公式が存在することを示した。さらに,その公式の応用として,曲面の全曲率に関する大域的な結果を得た。また,高次元のユークリッド空間の完備極小曲面に対して,その全曲率がみたすオッサーマン型の不等式の等号条件を決定した。この不等式の一般化については,現在進行中である。 続きを見る