アレクサンドロフ空間の収束理論

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アレクサンドロフ空間の収束理論

フォーマット:
助成・補助金
Kyushu Univ. Production 九州大学成果文献
タイトル(他言語):
Convergence Theory for Alexandrov Spaces
責任表示:
山口 孝男(九州大学・大学院・数理学研究科・教授)
YAMAGUCHI Takao(九州大学・大学院・数理学研究科・教授)
本文言語:
日本語
研究期間:
1994-1995
概要(最新報告):
曲率が下に有界なアレクサンドロフ空間の特異性がそれ程大きくない場合に、L^2空間への埋め込みを考察することにより、空間の収束の下で、空間のリプシッツ同相写像を構成することができた。これにより特に、アレクサンドロフ空間の体積の連続性が従う。更に、アレクサンドロフ空間の特異点集合がハウスドルフ測度に関して測度ゼロをもつことや、特異点集合の補集合上に自然なリーマン構造が導入され得ることも判明した。また、アレクサンドロフ空間の等長変換群がリー群になることが分かり、リーマン幾何学への重要な応用も見出された。他方、グロモフ不変料の概念をアレクサンドロフ空間に拡張し、その曲率や体積とグロモフ不変料との関連を明らかにした。先ず、アレクサンダー・スパニアーのコホモロジー理論を援用することによって、アレクサンドロフ空間Xの基本類の存在を示し、Xのグロモフ不変量を定義した。次に、基本類[X]のmassとXの体積が一致することを証明した。証明は、幾何学的測度論を用いて、[X]を代表するチェインを性質の良いリプシッツ・チェインによってmass-近似シ、ストークスの定理に代わるある種のキャンセルレーションの手法を開発することにより為される。更に、負曲率アレクサンドロフ空間のグロモフ不変量が曲率の上限と体積を用いて下から評価されることを証明した。アレクサンドロフ曲面の場合、その特異点集合の型を用いてグロモフ不変量のより精密な評価を得た。また、曲率が下に有界であえるアレクサンドロフ空間に対しては、そのグロモフ不変量を曲率の下限と体積を用いて上から評価することができた。従ってこの場合、曲率が上に有界の場合とは全く異なり、空間の特異点の出現は、グロモフ不変量にそれほど影響を及ぼさないことが判明した。これにより曲率を上から押さえるか,或は下から押さえるかで、そのグロモフ不変量への影響が全く異なることが明らかとなった。 続きを見る
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